二次曲面
空间解析几何
张瑞
中国科学技术大学数学科学学院
rui@ustc.edu.cn
空间曲面与曲线
1. 空间曲面与曲线
1.1. 柱面
1.2. 锥面
1.3. 旋转面
2. 二次曲面
2.1. 椭球面
2.2. 双曲面
2.3. 二次锥面
2.4. 椭圆抛物面
2.5. 双曲抛物面
2.6. 目录
空间中的曲线或曲面，可以看作是空间中点的运动轨迹。
参数曲线方程
参数曲面方程
或者，看作是点的集合。
一般曲面方程: 满足的点的集合形成一个曲面。
也称为隐式曲面。
一般曲线方程: 两个曲面的交线，也称为隐式曲线。
柱面
定义 1.
一簇平行直线形成的曲面叫柱面。直线叫母线。与每条母线都相交的线叫准线。
若母线方向 ，
准线的参数方程为，则柱面的参数方程为
或
准线有无穷条，将任一条准线沿母线方向运动，都可以得到柱面。
母线与轴平行的柱面方程是。这里，在空间中考虑问题。虽然方程中不含变量，但方程是关于的三元方程。
同样，方程表示母线与轴平行。
方程表示母线与轴平行。
双曲柱面
锥面
定义 2.
一簇过定点的直线组成的曲线叫锥面。这个定点，称为顶点。
直线称为母线。与每条母线都相交，但不过顶点的线叫准线。
将准线上的每一点与顶点作直线就可以得到锥面。
若准线方程为，
顶点为，则锥面方程为
圆锥面: 准线为圆，且顶点与圆心连线垂直圆面的锥面
锥面
旋转面
定义 3.
一条曲线绕一条直线旋转产生的曲面叫作旋转面。这条曲线称为子午线，这条直线称为转轴。
旋转面的参数方程和一般方程的形式通常都比较复杂。
例 1. 平面上的椭圆
绕轴旋转，所得的曲面称为旋转椭球面。
GeoGeBra
解. 这个椭球上任意点，
它在过这个点，并且与轴垂直的圆上，这个圆的圆心在轴，
半径是
是椭圆上的点绕轴旋转得到，因此有
推广到一般情况，在坐标平面上的曲线，绕坐标轴旋转的旋转面的方程比较容易得到。
设在平面上有曲线
绕轴旋转得到一个旋转面，则旋转面的方程为
这里的表示至少有一种情况成立。
类似，绕轴旋转，得到的旋转面的方程是
例 2. 设是平面上的双曲线
则绕轴旋转所得的称为旋转单叶双曲面，方程是
绕轴旋转所得的称为旋转双叶双曲面，方程是
例 3. 平面上的抛物线
绕轴旋转得到旋转抛物面，方程是
例 4. 平面上的直线
绕轴旋转得到圆锥面，方程是
两边平方后，得到
二次曲面
以二次方程表示的曲面，也称为二次曲面。二次曲面与平面的交（截口）一般是一条二次曲线。
常见的母线平行轴的二次柱面
椭圆柱面： 与垂直于其母线的平面的交是一个椭圆，方程
当时，得到圆柱面
双曲柱面： 与垂直于其母线的平面的交是双曲线
抛物柱面： 与垂直于其母线的平面的交是抛物线
椭球面
椭球面的方程是
椭球面的一个特点是，它与平面, 相截，截口是一个椭圆，
在椭球面方程中，若, , 中有两个相等，得到的是旋转椭球面。
若，得到球面方程
双曲面
，方程
定义的曲面称为单叶双曲面(uniparted hyperboloid)。
它与平面(平行于坐标面)的截口是一个椭圆
它与平面(或)的截口是双曲线
当时，方程退化为两条直线
，方程
定义的曲面称为双叶双曲面(biparted hyperboloid)。
它与平面（要求）的截口是一个椭圆，
它与平面(或)的截口是双曲线
当时，方程是一个双叶旋转双曲面。
方程形式为
，为椭球面。系数均为正
，为单叶双曲面。系数有两个为正，一个为负
，为双叶双曲面。系数有一个为正，两个为负
椭球面、双曲面
二次锥面
方程
所表示的曲面称为二次锥面。
易知，若在锥面上，则过原点与的直线
均在这个曲面上，因此称为锥面。顶点在
用平面(平行于坐标面)得到的截口为一个椭圆
平面或得到的截口是双曲线。
若，二次锥面是一个圆锥面
锥面与平面的交
锥面
椭圆抛物面
方程
定义的曲面称为椭圆抛物面(Elliptic paraboloid)。
平面(平行于坐标面)得到的截口是一个椭圆，
平面和得到的截口均是抛物线。
椭圆抛物面、双曲抛物面
双曲抛物面
方程
定义的曲面称为双曲抛物面，它的形状像马鞍，也称为马鞍面。
平面的截口方程是
当时，曲线是双曲线，实轴平行与轴，虚轴平行于轴。
当时，曲线是双曲线，实轴平行与轴，虚轴平行于轴。
当时，是两个相交于原点的直线。
平面的截口是一条开口指向轴反方向的抛物线，方程是
平面的截口方程是
是一条开口指向轴方向的抛物线。
一个一般的三元二次方程
是什么样的曲面？
可以通过坐标的平移和旋转, 化为上述的几种类型或他们的退化形态。
谢谢
目录
1. 空间曲面与曲线
1.1. 柱面
1.2. 锥面
1.3. 旋转面
2. 二次曲面
2.1. 椭球面
2.2. 双曲面
2.3. 二次锥面
2.4. 椭圆抛物面
2.5. 双曲抛物面
2.6. 目录
本节读完
例 5. 谢
5.
在曲线上取两点和，其横坐标分别为与，
则两点的距离为