在高等数学中，幂级数是研究函数性质和进行近似计算的重要工具之一。本篇博客将详细介绍幂级数的概念、收敛性、运算性质以及一些典型例题。
一、函数项级数的概念
函数项级数是形式为
的级数，其中 是定义在某个区间 I 上的函数序列。对于每个固定的 x∈I，如果常数项级数
收敛，则称 为该级数的收敛点；如果发散，则称 为发散点。所有收敛点的全体称为收敛域，所有发散点的全体称为发散域。
等比级数：
其和函数为
二、幂级数及其收敛性
幂级数是形如
求收敛半径的方法：
的收敛半径及收敛域。
解： 使用比值审敛法：
的收敛半径及收敛域。
解： 使用比值审敛法：
三、幂级数的运算
1. 代数运算性质
（1）加减法
（2）乘法（柯西乘积）
（3）除法
2. 和函数的分析运算性质
性质 1
幂级数在其收敛区间内可以逐项积分，且积分后的级数与原级数有相同的收敛半径。
性质 2
幂级数在其收敛区间内可以逐项求导，且求导后的级数与原级数有相同的收敛半径。
例题 3：求幂级数
的和函数。
解： 已知
例题 4：求幂级数
的和函数。
解： 已知
四、总结
幂级数的定义：
形如的函数项级数。
收敛性由阿贝尔定理和收敛半径决定。
幂级数的运算性质：
代数运算（加减法、乘法、除法）。
分析运算（逐项积分、逐项求导）。
典型例题：
求幂级数的收敛半径和收敛域。
求幂级数的和函数。
希望这篇文章能帮助你更好地理解幂级数的概念及其应用。如果你有任何问题，欢迎在评论区留言讨论！